Question

已知函數f（x）=-x³+ax在（0，1）上是增函數．
（1）求實數a的取值范圍A；
（2）當a為A中最小值時，定義數列{a_n}滿足：a₁=b∈（0，1），且2a_n+1=f（a_n），試比較a_n與a_n+1的大小．

Answer 1

（1）∵f（x）=-x³+ax，
∴f′（x）=-3x²+a，
∵f（x）=-x³+ax在（0，1）上是增函數，
∴f′（1）=-3+a≥0，
∴a≥3，即A=[3，+∞）．
（2）當a=3時，由題意：a_n+1=

1

2

f（a_n）=-

1

2

an3+

3

2

a_n，且a₁=b∈（0，1），
以下用數學歸納法證明：a_n∈（0，1），對n∈N^*恒成立．
①當n=1時，a₁=b∈（0，1）成立；
②假設n=k時，a_k∈（0，1）成立，那么當n=k+1時，
a_k+1=-

1

2

a_k³+

3

2

a_k，由①知g（x）=（-x³+3x）在（0，1）上單調遞增，
∴g（0）＜g（a_k）＜g（1）
即0＜a_k+1＜1，
　由①②知對一切n∈N^*都有a_n∈（0，1）
　而a_n+1-a_n=-

1

2

a_n³+

3

2

a_n-a_n=

1

2

a_n（1-a_n²）＞0
∴a_n+1＞a_n．