Question

【題目】已知圓心在軸非負半軸上，半徑為2的圓C與直線相切.

(1)求圓C的方程；

(2)設不過原點O的直線l與圓O:x2+y2=4相交于不同的兩點A，B.①求△OAB的面積的最大值;②在圓C上，是否存在點M(m，n)，使得直線l的方程為mx+ny=1，且此時△OAB的面積恰好取到①中的最大值?若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）① 2 ② .

【解析】

(1)設出圓心坐標，根據點到直線距離求得圓心，進而得到圓的方程。

(2)設圓心到直線AB的距離，根據三角形面積公式和基本不等式即可求得面積的最大值；根據點M在圓上，及點到直線距離等于半徑即可求得M的坐標。

(1)設圓心是(x0，0)()，它到直線的距離是

解得或(舍去)

∴所求圓C的方程是.

(2)①設圓心O到直線的距離為

則△OAB的面積

當且僅當時等號成立

∴△OAB的最大面積為2.

②由題得即即

∴存在滿足要求的點M，其坐標是,