Question

已知y=f（x）在（0，+∞）上有意義，且同時滿足：①f（3）=1；②f（xy）=f（x）+f（y）； ③對于任意x＞y均有f（x）＞f（y）
（1）證明：f（1）=0；  
（2）求f（9）的值；
（3）若f（x）≥f（x-1）+2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）賦值法：令x=y=1，由②即可求得f（1）；
（2）令x=y=3，由①②即可求得f（9）的值；
（3）利用②可把f（x）≥f（x-1）+2化為f（x）≥f（9（x-1）），根據(jù)③可去掉不等式中的符號“f”，轉(zhuǎn)化為具體不等式求解，注意考慮函數(shù)定義域．

解答：解：（1）令x=y=1，由②得f（1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0；
（2）令x=y=3，由①②得f（9）=f（3）+f（3）=2f（3）=2×1=2；
（3）由（2）得f（x）≥f（x-1）+2=f（x-1）+f（9），
由②得f（x-1）+f（9）=f（9（x-1）），
所以f（x）≥f（9（x-1）），
由③知f（x）在（0，+∞）上遞增，
所以x≥9（x-1）＞0，解得1＜x≤

9

8

，
故x的取值范圍為：1＜x≤

9

8

．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．