Question

設F₁、F₂分別是橢圓C:+=1(a＞b＞0)的左、右焦點,l為左準線,A₁、A₂分別為其長軸的左、右端點.

(1)若橢圓上的點M(1,)到F₁、F₂的距離之和為4,求橢圓方程;

(2)有一個猜想:“設P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)(y₁y₂≠0)是橢圓C上的任意兩點，若P、F₁、Q三點共線,則直線PA₁、QA₂、l共點.”你認為這個猜想能成立嗎？請說明理由.

Answer 1

解：(1)由已知得,

2a=|MF₁|+|MF₂|=4,

∴a=2.又M在橢圓上,

∴+=1.

∴b=.

∴橢圓方程為+=1.

(2)由已知,A₁(-a,0)、A₂(a,0)、F₁(-c,0),直線PA₁的方程為y=(x+a),

    直線QA₂的方程為y=(x-a).

    設直線PA₁與l交于點P′(-,y_P′);直線QA₂與直線l交于Q′(-,y_Q′).

y_P′=(-+a),

y_Q′=(--a).

    要證PA₁、QA₂、l共點,只需證y_P′=y_Q′.

∵P、F₁、Q三點共線,

∴=.

∴c=.                                                                   ①

    由y_P′=y_Q′(-+a)=(--a)=,

    將①代入得y_P′=y_Q′.                                ②

    又∵點P、Q在橢圓C上,

∴

∴

    兩式相比得,

∴②恒成立.

∴恒有y_P′=y_Q′.

∴直線PA₁、QA₂、l恒共點.