Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使線段PF₁的垂直平分線過點(diǎn)F₂，則橢圓離心率的取值范圍是（　　）

• A．（0，

  1

  3

  ]
• B．（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ）
• C．[

  1

  3

  ，1）
• D．[

  1

  3

  ，

  2

  3

  ）

Answer 1

分析：若橢圓C上存在點(diǎn)P，使線段PF₁的垂直平分線過點(diǎn)F₂，只需以點(diǎn)F₂為圓心2c為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)即可．

解答：解：因?yàn)樵O(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，使線段PF₁的垂直平分線過點(diǎn)F₂，
則以點(diǎn)F₂為圓心2c為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，由橢圓的性質(zhì)可知只需滿足a-c≤2c，解得

c

a

≥

1

3

，所以橢圓離心率的取值范圍是[

1

3

，1）．
故選C．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化是的應(yīng)用，以及計算能力．