Question

設F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點，且橢圓上一點P(1，

3

2

)到F₁，F(xiàn)₂兩點距離之和等于4．
（Ⅰ）求此橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點G(

1

8

，0)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得到關于a，b的兩個方程，解出對應a，b的值即可．
（Ⅱ）先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，找到關于點M、N的中點坐標，把其代入線段MN的垂直平分線方程，可以得到k和m之間的一個等量關系，再利用直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，對應判別式大于0，就可求出k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意有

2a=4 1 a2 + 9 4b2 =1

，解得

a=2 b= 3

∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（Ⅱ）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+m

?（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
∵直線y=kx+m與橢圓有兩個交點
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，即m²＜4k²+3
又x₁+x₂=-

8km

3+4k2

∴MN中點P的坐標為(-

4km

3+4k2

，

3m

3+4k2

)
設MN的垂直平分線l'方程：y=-

1

k

(x-

1

8

)
∵p在l'上∴

3m

3+4k2

=-

1

k

(-

4km

3+4k2

-

1

8

)
即4k²+8km+3=0∴m=-

1

8k

(4k2+3)
將上式代入得

(4k2+3)2

64k2

＜4k2+3∴k²＞

1

20

即k＞

5

10

或k＜-

5

10

∴k的取值范圍為(-∞，-

5

10

)∪(

5

10

，+∞)．

點評：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關系以及橢圓標準方程的求法問題．在求橢圓的標準方程時，用定義是常用的方法．