Question

12．已知圓C：x²+y²+8y+12=0，直線l：ax+y+2a=0．
（1）當a為何值時，直線l與圓C相切；
（2）當直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=2$\sqrt{2}$時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）若直線l與圓C相切，則有$\frac{|-4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2，即可求出a；
（2）過圓心C作CD⊥AB，則根據題意和圓的性質，|CD|=$\frac{|-4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，即可求直線l的方程．

解答 解：將圓C的方程x²+y²-8y+12=0配方得標準方程為x²+（y+4）²=4，則此圓的圓心為（0，-4），半徑為2．
（1）若直線l與圓C相切，
則有$\frac{|-4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2，∴a=$\frac{3}{4}$；         （6分）
（2）過圓心C作CD⊥AB，則根據題意和圓的性質，
|CD|=$\frac{|-4+2a|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，∴a=1或7．
故所求直線方程為7x+y+14=0或x+y+2=0．（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．