Question

棱長為m的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，E、F分別是棱AB，BC上的動點，且AE=BF．
（1）求異面直線A₁F與C₁E所成角；
（2）當三棱錐B₁-BEF的體積取得最大時，求二面角B₁-EF-B的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，設AE=BF=x，求出相關點的坐標，通過計算

A1F

•

C1E

=0，說明A₁F與C₁E所成角為

π

2

．
（2）求出VB1-BEF最大，判斷E，F分別為AB，BF的中點，求出設平面B₁EF的法向量，平面BEF的法向量，利用向量的數量積求解即可求出二面角B₁-EF-B的余弦值．

解答： 解：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系
設AE=BF=x，則A₁（m，0，m），F（m-x，m，0），E（m，x，0），C₁（0，m，m），B（m，m，0），B₁（m，m，m）
所以

A1F

=(-x，m，-m)，

C1E

=(m，x-m，-m)…（4分）．
則

A1F

•

C1E

=-mx+m(x-m)+m2=0
所以A₁F與C₁E所成角為

π

2

…（6分）
（2）因為VB1-BEF=

1

3

(

1

2

BE•BF)B1B
又因為BE=m-x，BF=x，B₁B=m，
VB1-BEF=

1

6

m(-x2+mx)
當x=

m

2

時，VB1-BEF最大
所以E，F分別為AB，BF的中點
所以E(m，

m

2

，0)，F(

m

2

，m，0)
所以

FB1

=(

m

2

，0，m)，

EB1

=(0，

m

2

，m)…（8分）
設平面B₁EF的法向量為

n

=(x，y，z)
由

EB 1 • n =0 FB1 • n =0

得

n

=(-2，-2，1)
平面BEF的法向量為

BB1

=(0，0，1)，
cos＜

n

•

BB1

＞=

n • BB1

| n • BB1 |

=

1

3

．
所以二面角B₁-EF-B的余弦值為

1

3

…（12分）

點評：本題考查空間向量求解二面角的平面角的余弦值，空間向量求解異面直線所成角的方法，考查轉化思想以及計算能力．