Question

設函數f(x)=sin(2x+φ)(-π＜φ＜0),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=.

(1)求φ;

(2)求函數y=f(x)的單調增區間；

（3）畫出函數y=f(x)在區間［0，π）上的圖象；

（4）此函數圖象如何由y=sinx圖象變化得到？

Answer 1

思路分析：對稱軸必經過三角函數的最高點或最低點，即f()=±1,由此求出φ，后面的問題就可獲解.

解：（1）∵x=是函數y=f(x)的圖象的對稱軸，

∴sin(2×+φ)=±1.∴+φ=kπ+,k∈Z.

∵-π＜φ＜0,∴φ=-.

(2)由（1）知φ=-,因此y=sin(2x-).

由題意得2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z.

∴函數y=sin(2x-)的單調增區間為［kπ+,kπ+］,k∈Z.

(3)由y=sin(2x-)知

x	0					π
y		-1	0	1	0

故函數y=f(x)在區間［0，π］上的圖象是

（4）將y=sinx的圖象向右平移個單位，得到y=sin(x)的圖象，然后將圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變）,得到函數y=sin(2x)的圖象.

另解：先將y=sinx的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，變為y=sin2x的圖象，再將圖象向右平移個單位，得到y=sin［2(x-)］=sin(2x)的圖象.

思想方法小結：利用函數的對稱性解題，通過數形結合得到方程，根據已知條件確定相應的φ值，這是本題的關鍵.畫圖象要視問題的情況，靈活使用“描點法”或“五點法”.