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設函數f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=.

(1)求φ;

(2)求函數y=f(x)的單調增區間;

(3)畫出函數y=f(x)在區間[0,π)上的圖象;

(4)此函數圖象如何由y=sinx圖象變化得到?

思路分析:對稱軸必經過三角函數的最高點或最低點,即f()=±1,由此求出φ,后面的問題就可獲解.

解:(1)∵x=是函數y=f(x)的圖象的對稱軸,

∴sin(2×+φ)=±1.∴+φ=kπ+,k∈Z.

∵-π<φ<0,∴φ=-.

(2)由(1)知φ=-,因此y=sin(2x-).

由題意得2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z.

∴函數y=sin(2x-)的單調增區間為[kπ+,kπ+],k∈Z.

(3)由y=sin(2x-)知

x

0

π

y

-1

0

1

0

故函數y=f(x)在區間[0,π]上的圖象是

(4)將y=sinx的圖象向右平移個單位,得到y=sin(x)的圖象,然后將圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍(縱坐標不變),得到函數y=sin(2x)的圖象.

另解:先將y=sinx的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍,變為y=sin2x的圖象,再將圖象向右平移個單位,得到y=sin[2(x-)]=sin(2x)的圖象.

思想方法小結:利用函數的對稱性解題,通過數形結合得到方程,根據已知條件確定相應的φ值,這是本題的關鍵.畫圖象要視問題的情況,靈活使用“描點法”或“五點法”.


練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)設函數f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
,x∈[0,π]

(Ⅰ)求f(x)的值域;
(Ⅱ)記△ABC的內角A、B、C的對邊長分別為a,b,c,若f(B)=1,b=1,c=
3
,求a
的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-
π
2
<φ<
π
2
)
,給出以下四個論斷:
①它的圖象關于直線x=
π
12
對稱;     
②它的圖象關于點(
π
3
,0)
對稱;
③它的周期是π;                   
④在區間[0,
π
6
)
上是增函數.
以其中兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結論,寫出你認為正確的命題:
條件
①③
①③
結論
;(用序號表示)

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=sin(ωx+
π
4
)(x∈R,ω>0)
的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的表達式;
(2)若f(x)•f(-x)=
1
4
x∈(
π
4
π
2
)
,求tanx的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=sin(2x+
π
3
)
,則下列結論正確的是(  )

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=sinωx+2
3
sin2
ωx
2
(ω>0)的最小正周期為
3

(Ⅰ)求函數f(x)的解析式;
(Ⅱ)若將y=f(x)的圖象向左平移
π
2
個單位可得y=g(x)的圖象,求不等式g(x)≥2
3
的解集.

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