Question

設(shè)，等差數(shù)列中，，記=，令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式和；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）是否存在正整數(shù)，且，使得成等比數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）  S_n==
（Ⅱ）見解析
（Ⅲ）成等比數(shù)列，存在正整數(shù)m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數(shù)列

（Ⅰ）設(shè)數(shù)列的公差為，由,.
解得，="3 "     ∴
∵      ∴S_n==.
(Ⅱ)  
∴  ∴
(Ⅲ)由(2)知，   ∴，
∵成等比數(shù)列.
∴      即
當(dāng)時(shí)，7，=1，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，=16，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)，，無正整數(shù)解；
當(dāng)時(shí)， ，則，而，
所以，此時(shí)不存在正整數(shù)m,n,且1<m<n,使得成等比數(shù)列.
綜上，存在正整數(shù)m=2,n=16,且1<m<n,使得成等比數(shù)列.