Question

如圖，正三棱柱底面邊長為

2

．
（1）若側棱長為1，求證：AB₁⊥BC₁；
（2）若AB₁與BC₁成60°角，求側棱長．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積公式，可得結論；
（2）利用向量的夾角公式，建立方程，即可得到結論．

解答：解：（1）設

AA1

=

a

，

AB

=

b

，

AC

=

c

，
知|

a

|=1，|

b

|=|

c

|=

2

，

a

•

b

=

a

•

c

=0，

b

•

c

=1．
而

AB1

•

BC1

=(

a

+b

)•(

a

-

b

+

c

)=0
故AB₁⊥BC₁.4′
（2）由（1）知

AB1

=

a

+b

，

BC1

=

a

-

b

+

c

，
∴|cos＜

AB1

，BC1

＞|=

|( a + b )•( a - b + c )|

( a + b )2 ( a - b + c )2

=cos60°
即2||

a

|2-1|=|

a

|2+2解得|

a

|=2
故側棱AA₁的長為2.4′

點評：本題考查線線垂直，考查線線角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．