Question

（08年康杰中學）（12分）如圖所示，正三棱柱底面邊長是2，側棱長是，D是AC的中點

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求直線與平面所成角的正弦值。

Answer 1

解析：解法一：（1）設與相交于點P，連接PD，則P為中點，

D為AC中點，PD//。

又PD平面D，

//平面D  

（2）正三棱柱，

 底面ABC。

又BDAC，由三垂線定理得：BD

就是二面角的平面角。

=，AD=AC=1

tan =

=, 即二面角的大小是

（3）BDAC，平面平面ABC，平面平面ABC=ACBD平面，

,

作.則AM平面，連接MP，

則就是直線與平面D所成的角。

=，AD=1，

在RtD中，=，

，。

直線與平面D所成的角的正弦值為 

 

 

解法二：

（1）同解法一           

（2）如圖建立空間直角坐標系，

則D（0，0，0），A（1，0，0），（1，0，），B（0，，0），（0，，）

=（-1，，-），

=（-1，0，-）

設平面的法向量為=（x，y，z）

則

則有，得=（，0，1）

由題意知=（0，0，）是

平面ABD的一個法向量。

設與所成角為，

則，

二面角的大小是

（3）由已知，得=（-1，，），=（，0，1）

則

直線與平面D所成的角的正弦值為