Question

(本題滿分16分)

橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率e = ，橢圓上的點到焦點的最短距離為1-, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且．

（1）求橢圓方程；

（2）若，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）設C：＋＝1（a>b>0），設c>0，c²＝a²－b²，由條件知a-c＝，＝，

∴a＝1，b＝c＝，故C的方程為：y²＋＝1　                  5′

（2）由＝λ，

∴λ＋1＝4，λ＝3　或O點與P點重合=              7′

當O點與P點重合=時，m=0

當λ＝3時，直線l與y軸相交，則斜率存在。

設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　                          11′

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　                         13′

m²＝時，上式不成立；m²≠時，k²＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1

容易驗證k²>2m²－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范圍為（－1，－）∪（，1）∪｛0｝                 16′