Question

私人辦學是教育發展的方向.某人準備投資1 200萬元興辦一所完全中學,為了考慮社會效益和經濟效益,對該地區教育市場進行調查,得出一組數據,列表如下(以班級為單位):

市場調查表

	班級學生數	配備教師數	硬件建設費(萬元)	教師年薪(萬元)
初中	50	2.0	28	1.2
高中	40	2.5	58	1.6

根據物價部門的有關文件,初中是義務教育階段,收費標準適當控制,預計除書本費、辦公費,初中每生每年可收取600元,高中每生每年可收取1 500元.因生源和環境等條件限制,辦學規模以20至30個班為宜(含20個與30個).教師實行聘任制.初、高中的教育周期均為三年.請你合理地安排招生計劃,使年利潤最大,大約經過多少年可以收回全部投資?

Answer 1

解：設初中編制為x個班,高中編制為y個班,則依題意有     (*)

又設年利潤為s萬元,則s=(50×600÷10 000)x+(40×1 500÷10 000)y-2.4x-4y,即s=0.6x+2y.

現在直角坐標系內作出(*)所表示的可行域,如圖所示.問題轉化為在右圖所示的陰影部分中,求直線s=0.6x+2y在y軸上的截距的最大值.

如圖,虛線所示的為一組斜率為-0.3的直線,顯然當直線過圖中的A點時,縱截距y=s取最大值.

解聯立方程組

得

設x=18,y=12代入s中,得s_max=34.8.

設經過n年可收回投資,則

第1年利潤為

6×50×600÷10 000-6×2×1.2+4×40×1 500÷10 000-4×2.5×1.6=11.6(萬元);

第2年利潤為2×11.6=23.2(萬元).

以后每年的利潤均為34.8萬元,

故依題意應有11.6+23.2+34.8(n-2)=1 200.

解得n≈35.5.

故學校規模以初中18個班,高中12個班為宜.第一年初中招生6個班約300人,高中招生4個班約160人.

從第三年開始年利潤為34.8萬元,約經過36年可以收回全部投資.