Question

10．如表是某位文科生連續5次月考的歷史、政治的成績，結果如下：

月份	9	10	11	12	1
歷史（x 分）	79	81	83	85	87
政治（y 分）	77	79	79	82	83

（Ⅰ）求該生5次月考歷史成績的平均分和政治成績的方差；
（Ⅱ）一般來說，學生的歷史成績與政治成績有較強的線性相關關系，根據上表提供的數據，求兩個變量x，y的線性回歸方程．
參考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n\overline{x}2}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，$\overline{x}$，$\overline{y}$表示樣本均值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據題意，計算數據的平均數和方差即可；
（Ⅱ）計算對應的數值，求出回歸系數即可寫出回歸方程．

解答 解：（Ⅰ）根據題意，計算$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（79+81+83+85+87）=83，…（2分）
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（77+79+79+82+83）=80；…（4分）
所以政治成績的方差為
${{s}_{y}}^{2}$=$\frac{1}{5}$×[（77-80）²+（79-80）²+（79-80）²+（82-80）²+（83-80）²]=4.8；…（6分）
（Ⅱ）計算$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=30，
$\sum_{i=1}^{5}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=40，…（8分）
所以回歸系數為$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{30}{40}$=0.75，…（10分）
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=80-0.75×83=17.75，…（11分）
故所求的線性回歸方程為
$\stackrel{∧}{y}$=0.75x+17.75…（12分）

點評 本題考查了平均數與方差以及線性回歸方程的求法問題，是基礎題目．