Question

【題目】已知正四棱錐的所有棱長都相等，是的中點，則，所成角的正弦值為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據異面直線所成角的定義可得分別取SC，DC，AD邊的中點F，G，H易得EF∥HA，EF=HA，故四邊形AEFH為平行四邊形，所以AE∥DF，又根據中點的性質可得FG∥SD從而將異面直線轉化為了相交直線，即∠HFG或其補角即為異面直線AE、SD所成的角，然后再利用余弦定理，求∠HFG的余弦值即可．

由于正四棱錐S﹣ABCD的側棱長與底面邊長都相等，故不妨設棱長為a．

取SC的中點F，連接EF，則EF∥BC，EF=BC，

取AD的中點H連接HF則可得EF∥HA，EF=HA，

故四邊形AEFH為平行四邊形，所以AE∥HF．

再取DC中點G，連接HG，則FG∥SD，

所以∠HFG或其補角即為異面直線AE、SD所成的角．

∵HF=AE=a，FG=a，HG==A，

∴cos∠HFG=＞0．

即AE、SD所成的角的正弦值為．

故選：C．