Question

【題目】已知數列{an}中，a1= ，an+1= （n∈N*）．
（Ⅰ）求證：數列{ }是等差數列，并求{an}的通項公式；
（Ⅱ）設bn+an=l（n∈N*），Sn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1 ， 試比較an與8Sn的大小．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵an+1= （n∈N*），

∴ = = =﹣1，

又 = ，

∴數列{ }是首項為﹣4，公差為﹣1的等差數列．

∴ ，化為 （n∈N*）．

（Ⅱ）∵bn+an=l（n∈N*），

∴bn=1﹣an= ，

∴ ，

∴S=b1b2+b2b3+…+bnbn+1= +…+ = = ，

從而an﹣8Sn= = ，

∴當n≤2時，an＞8Sn；

當n≥3時，an＜8Sn．

【解析】（1）表示出和，進行作差得出其為定值-4，再由等差數列的通項公式可得到的通項公式，（2）表示出，由裂項求和得到S，進行作差可得到當n≤2時，an＞8Sn；當n≥3時，an＜8Sn．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等差關系的確定的相關知識，掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．