Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,設點,且=2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知四邊形MNPQ的四個頂點均在曲線C上,且MQ∥NP,MQ⊥x軸,若直線MN和直線QP交于點S(4,0)．判斷四邊形MNPQ兩條對角線的交點是否為定點？若是,求出定點坐標；若不是,請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)四邊形MNPQ兩條對角線的交點是定點,且定點坐標為 (1,0)

【解析】(1)由=2可得,所以,解得,

所以橢圓C的方程為.(4分)

(2)設MP與x軸交于,則直線MP的方程為．

設,由對稱性知,

由,消去x得,(6分)

所以,,,(8分)

由M、N、S三點共線知,即,

所以y1(my2＋t－4)＋y2(my1＋t－4)＝0,整理得2my1y2＋(t－4)(y1＋y2)＝0,

所以,

即24m(t－1)＝0,得t＝1,(10分)

所以直線MP過定點D(1,0),同理可得直線NQ也過定點D(1,0),

即四邊形MNPQ兩條對角線的交點是定點,且定點坐標為(1,0)．(12分)