Question

已知F₁（0，-5），F₂（0，5），一雙曲線上任意一點M滿足||MF₁|-|MF₂||=8，則該雙曲線的一條漸近線與曲線y=x²圍成的封閉圖形的面積為

 

．

Answer 1

分析：由題意求出雙曲線的漸近線方程，利用定積分求雙曲線的一條漸近線與曲線y=x²圍成的封閉圖形的面積，先由題設條件求出參數a，b，c，再求漸近線

解答：解：由題意知，c=5，a=4，故b=3，由此知此雙曲線的漸近線方程為y=±

4

3

x，不妨研究y=

4

3

x與曲線y=x²圍成的封閉圖形的面積
y=

4

3

x與曲線y=x²的兩個交點的坐標分別為（0，0），（

4

3

，

4

3

）
故此條漸近線與曲線y=x²圍成的封閉圖形的面積為

∫

4 3 0

(

4

3

x-x2) dx=（

2

3

x²-

1

3

x³）

|

4 3 0

=

2

3

×

16

9

-

1

3

×

64

27

=

32

81

，
該雙曲線的一條漸近線與曲線y=x²圍成的封閉圖形的面積為

32

81

故答案為：

32

81

．

點評：本題考查圓錐曲線的綜合，求解本題的關鍵是求出雙曲線的漸近線方程，再注意到積分在求面積中的作用，用定積分求出面積．此題涉及的知識較多，綜合性較強，用到了轉化的思想，解題中根據題設條件與要解決的問題靈活轉化，可以大大降低解題的難度．