Question

已知F₁（0，-5），F₂（0，5），一雙曲線上任意一點M滿足||MF₁|-|MF₂||=8，則該雙曲線的一條漸近線與曲線y=x²圍成的封閉圖形的面積為________．

Answer 1

分析：由題意求出雙曲線的漸近線方程，利用定積分求雙曲線的一條漸近線與曲線y=x²圍成的封閉圖形的面積，先由題設條件求出參數a，b，c，再求漸近線
解答：由題意知，c=5，a=4，故b=3，由此知此雙曲線的漸近線方程為y=±x，不妨研究y=x與曲線y=x²圍成的封閉圖形的面積
y=x與曲線y=x²的兩個交點的坐標分別為（0，0），（，）
故此條漸近線與曲線y=x²圍成的封閉圖形的面積為 =（x²-x³）=×-×=，
該雙曲線的一條漸近線與曲線y=x²圍成的封閉圖形的面積為
故答案為：．
點評：本題考查圓錐曲線的綜合，求解本題的關鍵是求出雙曲線的漸近線方程，再注意到積分在求面積中的作用，用定積分求出面積．此題涉及的知識較多，綜合性較強，用到了轉化的思想，解題中根據題設條件與要解決的問題靈活轉化，可以大大降低解題的難度．