Question

不等式組

x-y+2≥0 x+y+2≥0 2x-y-2≤0

所確定的平面區域記為D．若點（x，y）是區域D上的點．
（1）求2x+y的最大值；
（2）若圓O：x²+y²=r²上的所有點都在區域D上，求圓O的面積的最大值．

Answer 1

考點：簡單線性規劃

專題：數形結合,不等式的解法及應用

分析：由約束條件作出可行域．
（1）設z=2x+y，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，聯立方程組求得最優解的坐標，代入目標函數求得2x+y的最大值；
（2）把求圓面積的最大值轉化為求圓的直徑的最大值，進一步轉化為求原點到直線2x-y-2=0的距離．

解答： 解：由約束條件

x-y+2≥0 x+y+2≥0 2x-y-2≤0

作差平面區域D如圖，

（1）聯立

x-y+2=0 2x-y-2=0

，解得

x=4 y=6

，即C（4，6）
設z=2x+y，化為直線方程的斜截式為y=-2x+z，
由圖可知，當直線y=-2x+z過C時，直線在y軸上的截距最大，z最大，等于2×4+6=14；
（2）要使圓O：x²+y²=r²上的所有點都在區域D上，則圓的半徑的最大值為O（0，0）到直線2x-y-2=0的距離，等于

|-2|

22+(-1)2

=

2 5

5

．
∴圓O的面積的最大值S=π•(

2 5

5

)2=

4

5

π．

點評：本題考查了簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法，考查了數學轉化思想方法，是中檔題．