Question

已知函數y=sin（2x）-8（sin x+cos x）+19（0≤x≤π），求函數y的最大值與最小值．

Answer 1

分析：利用換元法t=sinx+cosx，求出函數關于t的表達式，利用配方法求出函數的最值．

解答：解：令t=sinx+cosx，則t=

2

sin（x+

π

4

），（4分）
∵0≤x≤π，
∴

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，-

2

2

≤sin（x+

π

4

）≤1，
即-1≤t≤

2

．
由t=sinx+cosx兩邊平方得2sinxcosx=t²-1，
∴sin2x=t²-1（10分）
y=t²-1-8t+19，即f（t）=（t-4）²+2，
∵-1≤t≤

2

∴y_max=f（-1）=27y_min=f（

2

）=20-8

2

（14分）

點評：本題是基礎題，考查三角函數的最值的求法，換元法的應用，考查計算能力，注意換元法中元的取值范圍，是易錯點．