Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓，若圓的一條切線與橢圓有兩個交點，且.

（1）求圓的方程；

（2）已知橢圓的上頂點為，點在圓上，直線與橢圓相交于另一點，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）先討論切線斜率存在時，設(shè)圓的切線為，點，由直線與橢圓方程聯(lián)立方程組后消元韋達定理可得，代入可得出的關(guān)系，從而可求得圓心到此直線的距離即圓半徑，得圓方程，驗證當(dāng)斜率不存在的直線也滿足題意；

（2）設(shè)點，由，得，由分別在橢圓和圓上，聯(lián)立方程組解得后可得直線方程．

（1）設(shè)圓的切線為，點.由方程組得，得.因為，所以，即.又因為點在直線上，所以，即.所以，化簡得，所以圓的半徑，所以圓的方程為.此時，當(dāng)切線為時，易證滿足.

（2）設(shè)點，點，由，得.代入橢圓和圓得解得或者所以點或

.故直線的方程為或．.