【題目】在直角坐標系
中，已知拋物線
上一點
到焦點
的距離為6，點
為其準線
上的任意一點，過點作拋物線
的兩條切線，切點分別為
.
（1）求拋物線的方程；
（2）當點在
軸上時，證明:
為等腰直角三角形.
（3）證明：為直角三角形.
【答案】（1）
（2）見解析（3）見解析
【解析】
（1）根據拋物線的定義可知，到焦點的距離等于到準線的距離，得到
求出參數
即可求出拋物線的解析式；
（2）由（1）可得
，由題意知切線的斜率存在且不為0，設為
，所以切線方程為
，聯立直線與拋物線方程，消去
得到關于
的一元二次方程，根據
求出的值，即可求出
、
的坐標，即可得證；
（3）設點
，由題意知切線的斜率存在且不為0，設為，所以切線方程為
，聯立直線與拋物線方程，消去得到關于的一元二次方程，根據求出
的值，即可得證；
解：（1）根據題意可得，得
，
所以拋物線
的方程為.
（2）拋物線：的準線方程為
，
所以點，由題意知切線的斜率存在且不為0，設為，
所以切線方程為.
由方程組
，得
，
所以
，
解得
，解得
.
不妨取
，
，易得
為等腰直角三角形.
（3）設點，由題意知切線的斜率存在且不為0，設為，
所以切線方程為，
由方程組
，
得
，
此時
，
所以
，即
.
所以為直角三角形.
培優好卷單元加期末卷系列答案
一線名師權威作業本系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
，其焦點為
，直線
過點與
交于
、
兩點，當的斜率為
時，
.
（1）求
的值；
（2）在
軸上是否存在一點
滿足
（點
為坐標原點）？若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
兩點分別在
軸和
軸上運動，且
，若動點
滿足
.
（1）求出動點
的軌跡
的標準方程；
（2）設動直線
與曲線有且僅有一個公共點，與圓
相交于兩點
（兩點均不在坐標軸上），求直線
的斜率之積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，已知橢圓
，若圓
的一條切線與橢圓
有兩個交點
，且
.
（1）求圓
的方程；
（2）已知橢圓的上頂點為
，點
在圓上，直線
與橢圓相交于另一點
，且
，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率
，左、右焦點分別是
、
，且橢圓上一動點
到的最遠距離為
，過的直線
與橢圓交于
，
兩點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當
以
為直角時，求直線
的方程；
（3）直線的斜率存在且不為0時，試問
軸上是否存在一點
使得
，若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導數．
（1）證明：f′（x）在區間（0，π）存在唯一零點；
（2）若x∈[0，π]時，f（x）≥ax，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知曲線C的極坐標方程是
.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數方程是: 
(
是參數).
(Ⅰ)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程,將直線
的參數方程化為普通方程;
(Ⅱ)若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且
,試求實數m的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數），若以
為極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標方程；
（2）若
是曲線上的任意一點，
是曲線上的任意一點，求線段
的最小值.
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