【題目】如圖.四棱柱
的底面是直角梯形，
，
，
，四邊形
和
均為正方形.
（1）證明；平面
平面ABCD；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2) 
【解析】
（1）證明
平面ABCD，再利用面面垂直判定定理證明
（2）由（1）知
，AB，AD兩兩互相垂直，故以A為坐標原點，AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸建系，求出兩個半平面的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可
（1）證明：因為四邊形
和
均為正方形，所以
，
.
又
，所以平面ABCD.
因為
平面，所以平面
平面ABCD.
（2）（法—）由（1）知，AB，AD兩兩互相垂直，故以A為坐標原點，AB，AD，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系
，則
，
，
，
，
則
，
.
設
為平面
的法向量，則
令
，則
，
，所以
.
又因為平面ABCD，所以
為平面ABCD的一個法向量.
所以
.
因為二面角
是銳角.所以二面角的余弦值為.
（法二）過B作
于H，連接
.
由（1）知
平面ABCD，則
，
而
，所以
平面
所以
從而
為二面角的平面角.
由等面積法，可得
，即
.
所以
，
故
.
階梯計算系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】空氣質量指數
是反映空氣質量狀況的指數，指數值越小，表明空氣質量越好，其對應關系如表：
|
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|
|
|
|
|
空氣質量 | 優 | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴重污染 |
如圖是某市10月1日—20日指數變化趨勢：
下列敘述正確的是（ ）
A.該市10月的前半個月的空氣質量越來越好
B.這20天中的中度污染及以上的天數占
C.這20天中指數值的中位數略高于100
D.總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量差
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一個調查學生記憶力的研究團隊從某中學隨機挑選100名學生進行記憶測試，通過講解100個陌生單詞后，相隔十分鐘進行聽寫測試，間隔時間
（分鐘）和答對人數
的統計表格如下：
時間 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
答對人數 | 98 | 70 | 52 | 36 | 30 | 20 | 15 | 11 | 5 | 5 |
| 1.99 | 1.85 | 1.72 | 1.56 | 1.48 | 1.30 | 1.18 | 1.04 | 0.7 | 0.7 |
時間與答對人數的散點圖如圖：
附：
，
，
，
，
，對于一組數據
，
，……，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計分別為：
，
.請根據表格數據回答下列問題：
（1）根據散點圖判斷，
與
，哪個更適宣作為線性回歸類型？（給出判斷即可，不必說明理由）
（2）根據（1）的判斷結果，建立與的回歸方程；（數據保留3位有效數字）
（3）根據（2）請估算要想記住
的內容，至多間隔多少分鐘重新記憶一遍.（參考數據：
，
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若定義域均為D的三個函數f（x），g（x），h（x）滿足條件：對任意x∈D，點（x，g（x）與點（x，h（x）都關于點（x，f（x）對稱，則稱h（x）是g（x）關于f（x）的“對稱函數”．已知g（x）=
，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）關于f（x）的“對稱函數”，且h（x）≥g（x）恒成立，則實數b的取值范圍是_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年雙十一落下帷幕，天貓交易額定格在268（單位：十億元）人民幣（下同），再創新高，比去年218（十億元）多了50（十億元），這些數字的背后，除了是消費者買買買的表現，更是購物車里中國新消費的奇跡，為了研究歷年銷售額的變化趨勢，一機構統計了2010年到2019年天貓雙十一的銷售額數據
（單位：十億元）.繪制如下表1：
表1
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
編號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
銷售額 | 0.9 | 8.7 | 22.4 | 41 | 65 | 94 | 132.5 | 172.5 | 218 | 268 |
根據以上數據繪制散點圖，如圖所示.
把銷售超過100（十億元）的年份叫“暢銷年”，把銷售額超過200（十億元）的年份叫“狂歡年”，從2010年到2019年這十年的“暢銷年”中任取2個，求至少取到一個“狂歡年”的概率.
參考公式：對于一組數據
，
，…，
，其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“干支紀年法”是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字開始，“地支”以“子”字開始，兩者按照干支順序相配，構成了“干支紀年法”，其相配順序為：甲子、乙丑、丙寅
癸酉、甲戌、乙亥、丙子癸未、甲申、乙酉、丙戌癸巳癸亥，60為一個周期，周而復始，循環記錄.按照“干支紀年法”，中華人民共和國成立的那年為己丑年，則2013年為（ ）
A.甲巳年B.壬辰年C.癸巳年D.辛卯年
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵式彰顯了中華民族從站起來、富起來邁向強起來的雄心壯志.閱兵式規模之大、類型之全均創歷史之最，編組之新、要素之全彰顯強軍成就.裝備方陣堪稱“強軍利刃”“強國之盾”，見證著人民軍隊邁向世界一流軍隊的堅定步伐.此次大閱兵不僅得到了全中國人的關注，還得到了無數外國人的關注.某單位有10位外國人，其中關注此次大閱兵的有8位，若從這10位外國人中任意選取3位做一次采訪，則被采訪者中至少有2位關注此次大閱兵的概率為（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設
是函數
定義域的一個子集，若存在
，使得
成立，則稱
是
的一個“準不動點”，也稱在區間上存在準不動點，已知
，
.
（1）若
，求函數的準不動點；
（2）若函數在區間
上存在準不動點，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設Tn為數列{an}的前n項的積，即Tn=a1a2…an．
（1）若Tn=n2，求數列{an}的通項公式；
（2）若數列{an}滿足Tn=
（1﹣an）（n∈N*），證明數列
為等差數列，并求{an}的通項公式；
（3）數列{an}共有100項，且滿足以下條件：
①
；
②
（1≤k≤99，k∈N*）．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）試問符合條件的數列共有多少個？為什么？
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