Question

如圖所示，有兩條相交成60°角的直線xx′，y′y，交點是O，甲、乙分別在ox，oy上，起初甲離O點3km，乙離O點1km，后來兩人同時用每小時4km的速度，甲沿xx′的方向，乙沿y′y的方向步行．
（1）起初兩人的距離是多少？
（2）用包含t的式子表示t小時后兩人的距離？
（3）什么時候兩人的距離最短？

Answer 1

解：（1）連接AB，在三角形OAB中，過A作出OB邊上的高AD，
在直角三角形OAD中，OA=3，OB=1，
因為∠AOB=60°
所以BD=1.5-1=0.5，AD=OAsin60°=，
則根據勾股定理得AB=km；
（2）①A在O的右邊，則t小時走的路為4t，和（1）計算方法一樣，
得AB=，且0≤t＜；
②A和O重合時，AB=4t+1，t=；
③A在O的左邊，AB=，
（3）因為AB=且0≤t＜，設m=48t²-24t+，
求出m在[0，）的最小值為m（0）=，
所以AB的最小值為．
分析：（1）連接AB，在三角形OAB中，過A作出OB邊上的高AD，利用三角函數求出AB即可；
（2）設兩人的距離為ykm根據題意分兩種情況討論即A與O不重合，A和O重合，分別利用三角函數求出AB即可得到y的解析式；（3）利用二次函數求最小值的方法求出y的最小值即可．
點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力，利用三角函數解直角三角形的能力，以及利用二次函數求最值的能力．