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7.定義在[-4,4]上的奇函數f(x),已知當x∈[-4,0]時,f(x)=$\frac{1}{4^x}$+$\frac{a}{3^x}$(a∈R).
(1)求f(x)在[0,4]上的解析式;
(2)若x∈[-2,-1]時,不等式f(x)≤$\frac{m}{2^x}$-$\frac{1}{{{3^{x-1}}}}$恒成立,求實數m的取值范圍.

分析 (1)根據奇函數的性質即可求出a,設x∈[0,4],-x∈[-4,0],易求f(-x),根據奇函數性質可得f(x)與f(-x)的關系;
(2)分離參數,構造函數,求出函數的最值問題得以解決.

解答 解:(1)f(x)是定義在[-4,4]上的奇函數,
∴f(0)=1+a=0,
∴a=-1,
∵$f(x)=\frac{1}{4^x}-\frac{1}{3^x}$,
設x∈[0,4],
∴-x∈[-4,0],
∴$f(x)=-f(-x)=-[{\frac{1}{{{4^{-x}}}}-\frac{1}{{{3^{-x}}}}}]={3^x}-{4^x}$,
∴x∈[0,4]時,f(x)=3x-4x
(2)∵x∈[-2,-1],$f(x)≤\frac{m}{2^x}-\frac{1}{{{3^{x-1}}}}$,
即$\frac{1}{4^x}-\frac{1}{3^x}≤\frac{m}{2^x}-\frac{1}{{{3^{x-1}}}}$
即$\frac{1}{4^x}+\frac{2}{3^x}≤\frac{m}{2^x}$x∈[-2,-1]時恒成立,
∵2x>0,
∴${({\frac{1}{2}})^x}+2•{({\frac{2}{3}})^x}≤m$,
∵$g(x)={({\frac{1}{2}})^x}+2•{({\frac{2}{3}})^x}$在R上單調遞減,
∴x∈[-2,-1]時,$g(x)={({\frac{1}{2}})^x}+2•{({\frac{2}{3}})^x}$的最大值為$g(-2)={({\frac{1}{2}})^{-2}}+2•{({\frac{2}{3}})^{-2}}=\frac{17}{2}$,
∴$m≥\frac{17}{2}$.

點評 本題考查函數的奇偶性及其應用,不等式恒成立的問題,考查學生解決問題的能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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A.{0,1,2}B.{1,0,1,2}C.{1}D.不能確定

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