Question

已知c＞0，p：函數y=c^x是R上的減函數；q：當x∈[

1

2

，2]時，函數f(x)=x+

1

x

＞c2-

5

2

c+3恒成立．若p、q一個是假命題，一個是真命題，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出p，q成立的等價條件，利用若p、q一個是假命題，一個是真命題，進行討論求c的取值范圍即可．

解答：解：若p是真命題，則0＜c＜1； 
若命題p是真命題，由x∈[

1

2

，2]得，函數f(x)=x+

1

x

的值域為[2，

5

2

]，
∴有c2-

5

2

c+3＜2⇒

1

2

＜c＜2．
由題p，q有且只有一個為真．
（1）若p真q假，則

0＜c＜1 c≥2或c≤ 1 2

，解得0＜c≤

1

2

；
（2）若p 假q真，則

c≥1 1 2 ＜c＜2

，解得1≤c＜2．
故實數c的取值范圍是(0，

1

2

]∪[1，2)．

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關系，利用條件先求出p，q的等價條件是解決本題的關鍵．