Question

已知函數(shù)f(x)=

1 ( 當x為有理數(shù)時) 0(當x為無理數(shù)時)

，給出下列關于f（x）的性質：
①f（x）是周期函數(shù)，3是它的一個周期；②f（x）是偶函數(shù)；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同
正確的個數(shù)為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

當T=3，則當x為有有理數(shù)時，x+3也為有理數(shù)，則f（x+3）=f（x）；
則當x為有無理數(shù)時，x+3也為無理數(shù)，則f（x+3）=f（x）；
故T為函數(shù)的周期，即f（x）是周期函數(shù)，3是它的一個周期，故①正確；
若x為有理數(shù)，則-x也為有理數(shù)，則f（-x）=f（x）；
若x為無理數(shù)，則-x也為無理數(shù)，則f（-x）=f（x）；
故f（x）是偶函數(shù)，故②正確
存在有理數(shù)0，使得f（x）=cosx=0成立
故方程f（x）=cosx有有理根，即③正確；
方程f[f（x）]=f（x）可等價變形為f（x）=1
故方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同，故④正確
故選D