Question

母線長為1的圓錐體積最大時，其側(cè)面展開圖圓心角?等于（　　）

• A、

  2 2

  3

  π
• B、

  2 3

  3

  π
• C、

  2

  π
• D、

  2 6

  3

  π

Answer 1

分析：利用母線長得到底面半徑與高的關(guān)系，利用圓錐的體積公式將體積表示成底面半徑的函數(shù)，將函數(shù)湊成乘積為定值的形式，利用基本不等式求函數(shù)的最值．

解答：解：設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，則圓錐體積V=

1

3

πr²•h
又∵r²+h²=1∴h=

1-r2

∴圓錐體積V=

1

3

πr²•

1-r2

=

2π

3

•

r2 2 • r2 2 • (1-r2)

∵

3	r2 2 • r2 2 •(1-r2)

≤

r2 2 + r2 2 +1-r2

3

=

1

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

r2

2

=1-r2時，即當(dāng)r=

6

3

時圓錐體積V取得最大值
∴側(cè)面展開圖圓心角?=2πr=2π•

6

3

故選擇D

點評：本題考查利用基本不等式求函數(shù)的最值：需要注意滿足的條件：一正；二定；三相等．