Question

已知、分別是雙曲線的左、右焦點，過斜率為的直線交雙曲線的左、右兩支分別于A、C兩點，過且與垂直的直線交雙曲線的左、右兩支分別于D、B兩點．

   （1）求的取值范圍；

   （2）設點P是直線、的交點為，求證：＞；

   （3）求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

解析：（1）由條件知，、的方程分別為、．

由，得．

由于交雙曲線的左、右兩支分別于A、C兩點，

所以＜0，解得＜3．

由，得．

由于交雙曲線的左、右兩支分別于D、B兩點，

所以＜0，解得＞．

因此，＜＜3，的取值范圍是．

（2）由條件知，，點P在以為直徑的圓上．

所以．

因此＞＝．

（3）由（1）知，．

．

∴四邊形ABCD的面積．

由于＝．當且僅當

，即時，等號成立．

所以，四邊形ABCD面積的最小值為18．