Question

14．設f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，對定義域內的任意x，y都滿足f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1）；
（2）若f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-3）≤2．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1即可計算出f（1）；
（2）根據題意得出f（4）=2，所以不等式f（x）+f（x-3）≤2轉化為f[x（x-3）]≤f（4），再根據函數的單調性即可求出x范圍；

解答 （1）令x=y=1，則f（1×1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0；
（2）2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），f（x）+f（x-3）=f[x（x-3）]；
∵f（x）+f（x-3）≤2 即f[x（x-3）]≤f（4）；
∵f（x）在（0，+∞）上是單調遞增的；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x（x-3）≤4}\\{x＞0}\\{x-3＞0}\end{array}\right.$⇒3＜x≤4，
∴不等式f（x）+f（x-3）≤2的解集為{x|3＜x≤4}．

點評 本題主要考查了新定義抽象函數的具體應用，以及函數的單調性知識點，屬中檔題．