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14.設f(x)是定義在(0,+∞)上的增函數,對定義域內的任意x,y都滿足f(xy)=f(x)+f(y),
(1)求f(1);
(2)若f(2)=1,解不等式f(x)+f(x-3)≤2.

分析 (1)令x=y=1即可計算出f(1);
(2)根據題意得出f(4)=2,所以不等式f(x)+f(x-3)≤2轉化為f[x(x-3)]≤f(4),再根據函數的單調性即可求出x范圍;

解答 (1)令x=y=1,則f(1×1)=f(1)+f(1)⇒f(1)=0;
(2)2=1+1=f(2)+f(2)=f(4),f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)];
∵f(x)+f(x-3)≤2 即f[x(x-3)]≤f(4);
∵f(x)在(0,+∞)上是單調遞增的;
∴$\left\{\begin{array}{l}{x(x-3)≤4}\\{x>0}\\{x-3>0}\end{array}\right.$⇒3<x≤4,
∴不等式f(x)+f(x-3)≤2的解集為{x|3<x≤4}.

點評 本題主要考查了新定義抽象函數的具體應用,以及函數的單調性知識點,屬中檔題.

練習冊系列答案
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