Question

設直線過拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點F，且交C于點M，N，設．
（I）若p=2，λ=4，求MN所在的直線方程；
（II）若p=2，4≤λ≤9，求直線MN在y軸上截距的取值范圍；
（III）拋物線C的準線l與x軸交于點E，求證：的夾角為定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）p=2時，拋物線y²=4x，F（1，0），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），，由此能求出MN所在的直線方程．
（II）由=，由此能求出直線MN在y軸上截距的取值范圍．
（III）設M，N在直線l上的射影為M’，N’，則有，，由，知，由此能求出的夾角為定值90°．
解答：解：（I）p=2時，拋物線y²=4x，F（1，0），設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

由②得y₁²=λ²y₂²，∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，∴x₁=λ²x₂．③
聯立①、③解得．
（II）由（I）及=，
當，
令
（III）設M，N在直線l上的射影為M’，N’，則有，，
由于，∴，
∵，∴，
∴的夾角為定值90°．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．