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精英家教網設直線過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點F，且交C于點M，N，設
MF
=λ
FN
(λ＞0)．
（I）若p=2，λ=4，求MN所在的直線方程；
（II）若p=2，4≤λ≤9，求直線MN在y軸上截距的取值范圍；
（III）拋物線C的準線l與x軸交于點E，求證：
EF
與
EM
-λ
EN
的夾角為定值．
分析：（I）p=2時，拋物線y2=4x，F（1，0），設M（x1，y1），N（x2，y2），
MF
=λ
FN
(λ＞0)得(1-x1，y1)=λ(x2-1，-y2)，即
1-x1=λ(x2-1)  ①
y1=-λy2②
，由此能求出MN所在的直線方程．
（II）由p=2得直線MN方程為(λ-1)y=2
λ
(x-1)或(λ-1)y=-2
λ
(x-1)，由此能求出直線MN在y軸上截距的取值范圍．
（III）設M，N在直線l上的射影為M’，N’，則有
EM
=
EM‘
+
M’M
，
EN
=
EN‘
+
N’N
，由
MM‘
=λ
NN’
，知
EM
-λ
EN
=
EM’
-λ
EN‘
，由此能求出
EF
與
EM
-λ
EN
的夾角為定值90°．
解答：解：（I）p=2時，拋物線y2=4x，F（1，0），設M（x1，y1），N（x2，y2），
MF
=λ
FN
(λ＞0)得(1-x1，y1)=λ(x2-1，-y2)，即
1-x1=λ(x2-1)  ①
y1=-λy2②

由②得y12=λ2y22，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x1=λ2x2．③
聯立①、③解得x2=
1
λ
，x1=λ，依題意有λ＞0．
∴M(λ，2
λ
)，或M(λ，-2
λ
)，而F(1，0)，當λ=4時，
得直線MN的方程為4x-3y-4=0或4x+3y-4=0；(5分)

（II）由（I）及p=2得直線MN方程為(λ-1)y=2
λ
(x-1)或(λ-1)y=-2
λ
(x-1)，
當λ∈[4，9]時，MN在y軸上的截距為
2
λ
λ-1
或-
2
λ
λ-1
，
令f(x)=
2
x
x-1
，則f′(x)=
-x-1
x
(x-1)2
＜0
可知
2
λ
λ-1
在[4，9]上是遞減的，
∴
3
4
≤
2
λ
λ-1
≤
4
3
，-
4
3
≤-
2
λ
λ-1
≤-
3
4
，
直線MN在y軸上截距的變化范圍為[-
4
3
，-
3
4
]∪[
3
4
，
4
3
]．(5分)

（III）設M，N在直線l上的射影為M’，N’，則有
EM
=
EM‘
+
M’M
，
EN
=
EN‘
+
N’N
，
由于
MM‘
=λ
NN’
，∴
EM
-λ
EN
=
EM’
-λ
EN‘
，
∵
EF
⊥(
EM‘
-λ
EN’
)，∴
EF
⊥(
EM
-λ
EN
)，
∴
EF
與
EM
-λ
EN
的夾角為定值90°．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y=x2+4x+
7
2
，過拋物線C上點M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點M的法線．
（1）若拋物線C在點M的法線的斜率為-
1
2
，求點M的坐標（x0，y0）；
（2）設P（-2，4）為C對稱軸上的一點，在C上一定存在點，使得C在該點的法線通過點P．試求出這些點，以及C在這些點的法線方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

拋物線C的方程為y=ax2（a＜0），過拋物線C上一點P（x0，y0）（x0≠0）作斜率為k1、k2的兩條直線分別交拋物線C于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點（P、A、B三點互不相同），且滿足k2+λk1=0（λ≠0且λ≠-1），
（1）設直線AB上一點M，滿足
BM
=λ
MA
，證明線段PM的中點在y軸上；
（2）當λ=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y1的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設拋物線C：y=x2，F為焦點，l為準線，準線與y軸交點為H
（1）求|FH|；
（2）過點H的直線與拋物線C交于A，B兩點，直線AF與拋物線交于點D．
①設A，B，D三點的橫坐標分別為x1，x2，x3，計算：x1•x2及x1•x3的值；
②若直線BF與拋物線交于點E，求證：D，E，H三點共線．

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科目：高中數學 來源：2009年浙江省杭州市高考數學二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

設直線過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點F，且交C于點M，N，設．
（I）若p=2，λ=4，求MN所在的直線方程；
（II）若p=2，4≤λ≤9，求直線MN在y軸上截距的取值范圍；
（III）拋物線C的準線l與x軸交于點E，求證：的夾角為定值．

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同步練習冊答案
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