Question

設拋物線C：y=x²，F為焦點，l為準線，準線與y軸交點為H
（1）求|FH|；
（2）過點H的直線與拋物線C交于A，B兩點，直線AF與拋物線交于點D．
①設A，B，D三點的橫坐標分別為x₁，x₂，x₃，計算：x₁•x₂及x₁•x₃的值；
②若直線BF與拋物線交于點E，求證：D，E，H三點共線．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線方程及定義，可得結論；
（2）①設出直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理，可得結論；
②證明k_DE=k_EH，即可得到D，E，H三點共線．

解答：解：（1）∵拋物線C：y=x²，F為焦點，l為準線，準線與y軸交點為H
∴|FH|=

1

2

；
（2）①設直線AB方程：y=kx-

1

4

，直線AD方程：y=kx+

1

4

由

y=x2 y=kx- 1 4

，可得x2-kx+

1

4

=0，∴x₁•x₂=

1

4

由

y=x2 y=kx+ 1 4

，可得x2-kx-

1

4

=0，∴x₁•x₃=-

1

4

②設D（-

1

4x1

，

1

16x12

），E（-

1

4x2

，

1

16x22

），則k_DE=

1 16x22 - 1 16x12

- 1 4x2 + 1 4x1

=-

1

4x2

-

1

4x1

，
k_EH=

- 1 4 - 1 16x22

1 4x2

=-

1

4x2

-x2=-

1

4x2

-

1

4x1

∴k_DE=k_EH
∴D，E，H三點共線．

點評：本題考查拋物線的定義與性質，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．