Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a₂=3，2S_n-（n+1）a_n=An+B（其中A、B是常數，n∈N^*）．
（1）求A、B的值；
（2）求證數列是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式a_n；
（3）已知k是正整數，不等式8a_n+1-a_n²＜k對n∈N^*都成立，求k的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據已知條件a₁=1，a₂=3，2S_n-（n+1）a_n=An+B，取n=1和n=2，代入 得，即可求得
（2）首先將（1）求得的結果代入得2S_n-（n+1）a_n=-n+1（n∈N^*），則有2S_n+1-（n+2）a_n+1=-n，兩式相差即可得na_n+1-（n+1）a_n=1，兩邊同除以n（n+1），可得出，進而得出通項公式為a_n=2n-1（n∈N^*）．
（3）首先將（2）得出的公式代入8a_n+1-a_n²＜k，可得，進而得出k的最小值為32．
解答：解：（1）∵a₁=1，a₂=3，2S_n-（n+1）a_n=An+B（n∈N^*），
分別取n=1和n=2，得，
即，解得．（4分）

（2）由（1）知，2S_n-（n+1）a_n=-n+1（n∈N^*），
∴2S_n+1-（n+2）a_n+1=-n．，得2a_n+1-（n+2）a_n+1+（n+1）a_n=-1，即na_n+1-（n+1）a_n=1．
兩邊同除以n（n+1），可化為．
數列是以為首項，公差為零的等差數列，于是．
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1（n∈N^*）．（10分）

（3）由（2）知，a_n=2n-1（n∈N^*）．又8a_n+1-a_n²＜k，
即8（2n+1）-（2n-1）²＜k，進一步可化為．
當n=2或3時，-4的最大值為31，
因此，只要k＞31即滿足要求，又k是正整數，
故所求k的最小值為32．（16分）
點評：此題主要利用數列的遞推公式進行相關的應用及計算，屬于中檔題．