Question

在60⁰的二面角α-l-β中，A∈α，B∈β，已知A、B到l的距離分別是2和4，且AB=10，A、B在l的射影分別為C、D．
求：（1）CD的長(zhǎng)度；
（2）AB和棱l所成的角．

Answer 1

分析：（1）要求CD長(zhǎng)，應(yīng)將CD放在三角形中，過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線，取CE=BD=4，根據(jù)余弦定理可求出AE的長(zhǎng)，最后在直角三角形AEB求出BE長(zhǎng)，而四邊形BECD為矩形，即可求出所求；
（2）將l平移到BE，從而AB和棱l所成的角為∠ABE，然后在直角三角形AEB中，求出此角即可．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線，取CE=BD=4，
∵AC⊥l，而CE⊥l，則∠ACE=60°
根據(jù)余弦定理可知cos∠ACE=

4+16-AE2

2×2×4

解得：AE=2

3

而三角形AEB為直角三角形，則BE=2

22

即CD=2

22

（2）∵BE∥l
∴AB和棱l所成的角為∠ABE
在直角三角形AEB中，cos∠ABE=

1

5

∴AB和棱l所成的角為arccos

1

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩點(diǎn)的距離，以及異面直線所成角的求解，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，計(jì)算能力、推理能力，屬于中檔題．