Question

如圖，在平面角為60⁰的二面角-l-內有一點P，P到、分別為PC=2cm,PD=3cm,則垂足的連線CD等于多少？（2）P到棱l的距離為多少？

Answer 1

解析:

對于本題若這么做：過C在平面內作棱l的垂線，垂足為E，連DE，則CED即為二面角的平面角。這么作輔助線看似簡單，實際上在證明CED為二面角的平面角時會有一個很麻煩的問題，需要證明P、D、E、C四點共面。這兒，可以通過作垂面的方法來作二面角的平面角。

解：∵PC、PD是兩條相交直線，

∴PC、PD確定一個平面，設交棱l于E，連CE、DE。

∵PC⊥，    ∴PC⊥l,

又∵PD⊥，∴PD⊥l。

∴l⊥平面，則l⊥CE、DE，故CED即為二面角的平面角，即CED=60⁰。

∴CPD=120⁰，△PCD中，PD=3，PC=2，由余弦定理得CD=cm。由PD⊥DE，PC⊥CE可得P、D、E、C四點共圓，且PE為直徑，由正弦定理得PE=2R===cm。

說明：三垂線定理及其逆定理是作二面角的平面角的最主要的方法，要引起重視。