Question

已知點（a_n，a_n+1）在函數f（x）=-

1

x+2

，圖象上，且a₁=f（0），
（Ⅰ）b_n=

1

an+1

，求證：{b_n}為等差數列，并求出{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若a_n＞Kn對n∈N^*恒成立，求實數K的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與函數的綜合

專題：計算題,證明題,等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）運用等差數列的定義，以及通項公式，即可得到；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得數列{a_n}的通項，則a_n＞Kn對n∈N^*恒成立，得K＜（

-1

n+1

）_min，運用單調性求出最小值即可．

解答： 解：（Ⅰ）因為（a_n，a_n+1）在函數f（x）=-

1

x+2

圖象上，則a_n+1=-

1

an+2

又b_n=

1

an+1

，b_n+1-b_n=

1

an+1+1

-

1

an+1

=

1

1- 1 an+2

-

1

an+1

=

an+2

an+1

-

1

an+1

=1
又a₁=f（0）=-

1

2

，b₁=

1

1+a1

=2，
則有{b_n}是以2為首項，1為公差的等差數列；
即有b_n=n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=n+1=

1

an+1

，則a_n=

-n

n+1

又a_n＞Kn對n∈N^*恒成立，得K＜（

-1

n+1

）_min，
而

-1

n+1

在n∈N^*為遞增數列，當n=1時取得最小值-

1

2

則K＜-

1

2

．

點評：本題考查等差數列的定義和通項公式的求法，考查數列的單調性及運用，考查運算能力，屬于中檔題．