Question

已知函數(shù)，滿足：①對任意，都有；

②對任意n∈N ^*都有．

（Ⅰ）試證明：為上的單調(diào)增函數(shù)；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）令，試證明： 

 

Answer 1

【答案】

【解析】解：（I） 由①知，對任意，都有，

由于，從而，所以函數(shù)為上的單調(diào)增函數(shù)

（II）令，則，顯然，否則，與矛盾.從而，而由,即得.

又由（I）知，即.

于是得，又，從而，即.

進而由知，.

于是,  

        ,             ,

,         ,

,       由于,

而且由（I）知，函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，因此.

從而.  

（Ⅲ）,

，.

即數(shù)列是以6為首項, 以3為公比的等比數(shù)列 .

    ∴   

于是,顯然,  

另一方面,

從而.     

綜上所述, .