Question

已知函數f（x）對任意實數x，y滿足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，f（3）=6，當x＞0時，f（x）＞3．
（1）判斷f（x）在R上的單調性，并證明你的結論．
（2）是否存在實數a使f （a²-a-5）＜4成立？若存在求出實數a；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）令y＞0，則x+y＞x，根據已知中函數f（x）對任意實數x，y滿足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，當x＞0時，f（x）＞3易證得f（x+y）＞f（x），由增函數的定義，即可得到f（x）在R上單調遞增；
（2）由已知中函數f（x）對任意實數x，y滿足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，f（3）=6，利用“湊”的思想，我們可得f（1）=4，結合（1）中函數f（x）在R上單調遞增，我們可將f （a²-a-5）＜4轉化為一個關于a的一元二次不等式，解不等式即可得到實數a的取值范圍．

解答：解：（1）令y＞0，則x+y＞x
∵當x＞0時，f（x）＞3
∴f（y）＞3
又∵函數f（x）對任意實數x，y滿足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，當x＞0時，f（x）＞3
∴f（x）+f（y）=f（x+y）+3＞f（x）+3
即f（x+y）＞f（x）
故f（x）在R上單調遞增；
（2）令x=1，y=1，則f（1）+f（1）=f（2）+3，
令x=2，y=1，則f（2）+f（1）=3f（1）-3=f（3）+3，
又∵f（3）=6，
∴f（1）=4
由（1）中f（x）在R上單調遞增
則f （a²-a-5）＜4成立
若f （a²-a-5）＜f（1），
即a²-a-5＜1
解得：-2＜a＜3
故解集為{a|-2＜a＜3}

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數單調性的判斷與證明，其中抽象函數“湊”的思想是解題的關鍵，如（1）中令y＞0，湊出x+y＞x，（2）中湊出f（1）=4．