Question

已知函數f（x）對任意實數p，q都滿足f（p+q）=f（p）f（q），且f（1）=

1

3

（1）當n∈N^*時，求f（n）的表達式；
（2）設a_n=nf（n）（ n∈N^*），S_n是數列{a_n}的前n項和，求證：S_n＜

3

4

（3）設bn=

nf(n+1)

f(n)

（ n∈N^*），數列{b_n}的前n項和為T_n，若

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

＜

m-2000

2

對n∈N^*恒成立，求最小正整數m．

Answer 1

分析：（1）依題意知，當n∈N^*時有f（n+1）=f（n）f（1），利用f（1）=

1

3

，可知，數列{f（n）}是以

1

3

為首項

1

3

為公比的等比數列，利用等比數列的通項公式即可求得f（n）的表達式；
（2）由a_n=nf（n）=

n

3n

⇒S_n=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

，利用錯位相減法即可求得S_n=

3

4

-

2n+3

4•3n

，從而可證S_n＜

3

4

；
（3）依題意，可求b_n=

nf(n+1)

f(n)

=

n

3

，于是易求T_n=

1

3

（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

6

，

1

Tn

=6（

1

n

-

1

n+1

），繼而可得

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=6（1-

1

n+1

），利用恒成立問題即可求得答案．

解答：解：（1）由題意可得當n∈N^*時有f（n+1）=f（n）f（1），
又f（1）=

1

3

，即

f(n+1)

f(n)

=

1

3

，
∴數列{f（n）}是以

1

3

為首項

1

3

為公比的等比數列，
∴f（n）=

1

3

×(

1

3

)n-1=

1

3n

．
（2）∵a_n=nf（n）=

n

3n

，
∴S_n=

1

3

+

2

32

+

3

33

+…+

n

3n

，
∴

1

3

S_n=

1

32

+

2

33

+…+

n

3n+1

，
兩式相減得：

2

3

S_n=

1

3

+

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

-

n

3n+1

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

-

n

3n+1

=

1

2

（1-

1

3n

）-

n

3n+1

，
∴S_n=

3

4

-

2n+3

4•3n

＜

3

4

得證．
（3）∵b_n=

nf(n+1)

f(n)

=

n

3

，
∴T_n=

1

3

（1+2+3+…+n）=

n(n+1)

6

，
∴

1

Tn

=

6

n(n+1)

=6（

1

n

-

1

n+1

）
∴

1

T1

+

1

T2

+

1

T3

+…+

1

Tn

=6（1-

1

n+1

），
由題意可得

m-2000

2

≥6恒成立即m≥2012
所以m的最小正整數是2012．

點評：本題考查數列與不等式的綜合，著重考查錯位相減法求和與裂項法求和的綜合應用，突出考查等價轉化思想與恒成立問題，屬于難題．