Question

已知函數f（x）=mx²+3（m-2）x-1在區間（-∞，3]上單調減函數，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：首先對參數進行分類討論①m=0②m≠0，進一步對二次函數的對稱軸和單調區間進行分類討論，最后通過幾種情況的分析取集合的并集，求得相應的結果．

解答： 解：①當m=0時，函數f（x）=-6x-1
根據一次函數的單調性得：
函數在區間（-∞，3]上單調減函數．
②當m＞0時，函數f（x）=mx²+3（m-2）x-1的對稱軸方程為：x=

3(2-m)

2m

，
由于函數在（-∞，3]上單調減函數，
所以：

3(2-m)

2m

≥3，
解得：0＜m≤

2

3

．
③當m＜0時，函數f（x）=mx²+3（m-2）x-1的對稱軸方程為：x=

3(2-m)

2m

，
由于函數在（-∞，3]上單調減函數，
而對于開口方向向下的拋物線在（-∞，3]不可能是遞減函數．
所以m∈Φ．
綜上所述：m的取值范圍為：0≤m≤

2

3

．

點評：本題考查的知識要點：二次函數的對稱軸與單調區間的關系，分類討論思想的應用．屬于基礎題型．