Question

已知函數f（x）=ax³+bx²的圖象經過點M（1，4），曲線在點M處的切線恰好與直線x+9y=0垂直．
（1）求實數a、b的值；
（2）求函數f（x）在[-1，3]上的最值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）由f（x）=ax³+bx²求導f′（x）=3ax²+2bx，從而得到f（1）=a+b=4，f′（1）=3a+2b=9；從而求解．
（2）由導數f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）的正負確定函數的單調性，從而求最值．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³+bx²，f′（x）=3ax²+2bx，
∴f（1）=a+b=4，f′（1）=3a+2b=-

1

- 1 9

=9；
解得，a=1，b=3；
（2）f（x）=x³+3x²，f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）；
故函數f（x）在[-1，0]上單調遞減，在[0，3]上單調遞增，
而f（-1）=-1+3=2，
f（0）=0，
f（3）=27+27=54；
故函數f（x）在[-1，3]上的最大值為54，最小值為0．

點評：本題考查了導數的綜合應用及導數的幾何意義的應用，屬于中檔題．