Question

6．函數(shù)f（x）=aln（x²+1）+bx，g（x）=bx²+2ax+b，（a＞0，b＞0）．已知方程g（x）=0有兩個不同的非零實根x₁，x₂．
（1）求證：x₁+x₂＜-2；
（2）若實數(shù)λ滿足等式f（x₁）+f（x₂）+3a-λb=0，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由方程g（x）=0有兩個不同的非零實根x₁，x₂，可得$\frac{a}{b}$＞1，結合韋達定理可得x₁+x₂＜-2；
（2）若實數(shù)λ滿足等式f（x₁）+f（x₂）+3a-λb=0，則λ=$\frac{2a}{b}$ln$\frac{2a}{b}$+$\frac{a}{b}$，進而可得λ的取值范圍．

解答 （本題12分）
證明：（1）由方程g（x）=bx²+2ax+b=0有兩個不同的非零實根，
得△=4a²-4b²＞0，
因此a＞b＞0，
所以$\frac{a}{b}$＞1；
所以x₁+x₂=$-\frac{2a}{b}$＜-2；
解：（2）由（1）知x₁x₂=1，
f（x₁）+f（x₂）+3a
=aln[x₁²x₂²+（x₁²+x₂²）+1]+b（x₁+x₂）+3a
=aln[（x₁²+x₂²）+2]+b（x₁+x₂）+3a
=aln[（x₁+x₂）²]+b（x₁+x₂）+3a
=2aln$\frac{2a}{b}$+a，
由f（x₁）+f（x₂）+3a-λb=0得λ=$\frac{2a}{b}$ln$\frac{2a}{b}$+$\frac{a}{b}$，
設t=$\frac{2a}{b}$＞2，則λ=tlnt+$\frac{t}{2}$是增函數(shù)．
因此λ＞2ln2+1

點評 本題考查的知識點是方程根的存在性質(zhì)及個數(shù)判斷，函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．