Question

在數列{a_n}中，a₁=3，a_n=-a_n+1-4n（n≥2，n∈N^*），數列{a_n}的前n項和S_n．
（1）證明：數列{a_n+2n+1}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）求S_n．

Answer 1

考點：數列遞推式,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得a_n+2n+1=-a_n-1-4n+2n+1=-a_n-1-2n+1=-a_n-1-2（n-1）-1，由此能證明{a_n+2n+1}是一個公比為-1的等比數列．由此能求出a_n=-6•（-1）ⁿ-2n-1．
（2）當n為奇數時，S_n=6-2（1+2+3+…+n）-n=-n²-2n+6，當n為偶數時，S_n=0-2（1+2+3+…+n）-n=-n²-2n，由此能求出S_n．

解答： 解：（1）∵在數列{a_n}中，a₁=3，a_n=-a_n+1-4n（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+2n+1=-a_n-1-4n+2n+1=-a_n-1-2n+1=-a_n-1-2（n-1）-1
即：a_n+2n+1=-[a_n-1+2（n-1）+1]，
∴{a_n+2n+1}是一個公比為-1的等比數列．
∵a₁+2×1+1=6，
∴a_n+2n+1=6•（-1）^n-1=-6•（-1）ⁿ，
∴a_n=-6•（-1）ⁿ-2n-1．
（2）∵a_n=-6•（-1）ⁿ-2n-1，
∴當n為奇數時，S_n=6-2（1+2+3+…+n）-n=-n²-2n+6，
當n為偶數時，S_n=0-2（1+2+3+…+n）-n=-n²-2n，
∴S_n=

-n2-2n+6，n為奇數 -n2-2n，n為偶數

．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構造法的合理運用．