Question

5．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分別是AA₁，BC的中點，∠CDC₁=90°，在△ABC中，AB=2AC，∠BAC=60°．
（1）證明：AM∥平面BDC₁；
（2）證明：DC₁⊥平面BDC．

Answer 1

分析 （1）取BC₁的中點N，連接DN，MN，證明：四邊形ADNM為平行四邊形，可得DN∥AM，即可證明AM∥平面BDC₁；
（2）證明：DC₁⊥BC，DC₁⊥DC，且DC∩BC=C，即可證明DC₁⊥平面BDC．

解答 證明：（1）取BC₁的中點N，連接DN，MN，
則$MN∥\frac{1}{2}C{C_1}$且$MN=\frac{1}{2}C{C_1}$．
又$AD∥\frac{1}{2}C{C_1}$且$AD=\frac{1}{2}C{C_1}$，
∴AD∥MN，且AD=MN，
∴四邊形ADNM為平行四邊形，
∴DN∥AM．
又DN?平面BDC₁，AM?平面BDC₁，
∴AM∥平面BDC₁．
（2）由題設AC=1，則AB=2，
由余弦定理，得$BC=\sqrt{3}$．
由勾股定理，得∠ACB=90°，BC⊥AC₁．
又∵BC⊥CC₁，且CC₁∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
又DC₁?平面ACC₁A₁，∴DC₁⊥BC．
又DC₁⊥DC，且DC∩BC=C，
∴DC₁⊥平面BDC．

點評 本小題主要考查空間線面關系等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．