Question

（2012•安徽模擬）已知函數f(x)=

e

x

-ln(x+1)-1，x∈[0，+∞)．
（1）判斷函數f（x）的單調性并求出函數f（x）的最小值；
（2）若x∈[3，+∞）時，不等式

e

x-3

＞ln(x+1)-lnm恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數單調性與導數的關系即可判斷函數的單調性，再依據單調性即可求得函數的最小值．
（2）不等式

e

x-3

＞ln(x+1)-lnm恒成立，即g（x）=e^x-3-ln（x+1）+lnm＞0恒成立，由此轉化為函數g（x）的最小值大于0即可解決．

解答：解：（1）f′（x）=ex-

1

x+1

．當x≥0時，e^x≥1，

1

x+1

≤1，
所以當x≥0時，f′（x）≥0．
∴函數f（x）在區間[0，+∞）上是增函數，
∴當x=0時，函數f（x）取最小值為0．
（2）設g（x）=e^x-3-ln（x+1）+lnm，且x∈[3，+∞），
則g′（x）=ex-3-

1

x+1

．由x∈[3，+∞）可知e^x-3≥1且

1

x+1

＜1，
所以g′（x）=ex-3-

1

x+1

＞0，
所以函數g（x）在[3，+∞）上為增函數，則g（x）≥g（3）=1-ln4+lnm．
由題意，不等式

e

x-3

＞ln(x+1)-lnm恒成立，
即g（x）＞0恒成立，所以g（3）=1-ln4+lnm＞0，解得m＞

4

e

．
故m的取值范圍為（

4

e

，+∞）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性、最值問題，屬中等難度．不等式恒成立問題往往轉化為函數的最值問題解決．解決該類問題時要注意考慮函數的定義域．