Question

已知函數f（x）=-x²+mx-1（m為實數）．
（1）試求f（x）在區間[

1

2

，1]上的最大值；
（2）若|f（x）|的區間(

1

2

，+∞)上遞增，試求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出二次函數的對稱軸，分對稱軸小于

1

2

、大于等于

1

2

小于等于1、大于1三種情況討論求f（x）在區間[

1

2

，1]上的最大值；
（2）把二次函數配方后分

m2

4

-1≤0、

m2

4

-1＞0兩種情況進行分析，特別當

m2

4

-1＞0，利用對稱軸在兩個零點之間，結合|f（x）|在區間（

1

2

，+∞）上遞增列不等式組求解m的取值范圍，最后取并集得答案．

解答：解：（1）f（x）=-x²+mx-1=-(x-

m

2

)2+

m2

4

-1．
當

m

2

＜

1

2

，即m＜1時，f（x）在[

1

2

，1]上遞減，
f(x)max=f(

1

2

)=

m

2

-

5

4

；

當

1

2

≤

m

2

≤1，即1≤m≤2時，
f(x)max=f(

m

2

)=

m2

4

-1；
當

m

2

＞1，即m＞2時，
f（x）在[

1

2

，1]上遞增，
f（x）_max=f（1）=m-2．
（2）f（x）=-x²+mx-1=-(x-

m

2

)2+

m2

4

-1．

對稱軸為x=

m

2

，開口朝下，
當

m2

4

-1≤0，即-2≤m≤2時，
|f（x）|=(x-

m

2

)2+1-

m2

4

，
|f（x）|的遞增區間為[

m

2

，+∞），
∴

m

2

≤

1

2

，∴m≤1，
∴-2≤m≤1；
當

m2

4

-1＞0，即m＜-2或m＞2時，
f（x）有2個零點x₁，x₂，
設x1＜

m

2

＜x2，
將f（x）圖象在x軸下方部分沿x軸翻折得到|f（x）|圖象，
那么|f（x）|的一個遞增區間為[x₂，+∞）．
若|f（x）|在區間（

1

2

，+∞）上遞增，
則需

f( 1 2 )= m 2 - 5 4 ≤0 m 2 ＜ 1 2 m＜-2或m＞2

，
解得：m＜-2．
綜上，m的取值范圍是（-∞，1]．

點評：本題考查了二次函數的性質，考查了分類討論的數學思想方法，綜合考查了學生分析問題和解決問題的能力，屬中高檔題．