Question

在公差為d的等差數列{a_n}中，已知a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比數列．
（1）求d，a_n；
（2）若d＜0，求{|a_n|}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，通過解方程組可求得等差數列{a_n}中的公差d，從而可求a_n；
（2）當0＜n≤6時，|a_n|=a_n，當n＞6時，|a_n|=-a_n，從而可利用等差數列的求和公式計算S_n．

解答：解：（1）∵數列{a_n}為公差為d的等差數列，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比數列，
∴(2a2+2)2=a₁•（5a₃），即(2a1+2d+2)2=a₁•[5（a₁+2d）]，a₁=10，
∴4（11+d）²=500+100d，
∴d²+2d+4=0，
∴d=-2，
∴a_n=10+（n-1）×（-2）=12-2n．
（2）∵a_n=12-2n，
∴當0＜n≤6時，a_n≥0，此時|a_n|=a_n，
S_n=

(a1+an)×n

2

=11n-n²（0＜n≤6，n∈N^*）；
當n＞6時，a_n＜0，|a_n|=-a_n，
∴S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…+a₆-a₇-a₈-…-a_n
=-（a₁+a₂+…+a_n）+2S₆
=n²-11n+2×30
=n²-11n+60．
∴S_n=

11n-n2(0＜n≤6) n2-11n+60(n＞6)

．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差數列的求和公式與等差數列、等比數列的通項公式的應用，（2）中去掉絕對值符號是關鍵，也是難點，考查分類討論思想，屬于中檔題．